Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(a＞0，β為參數(shù))．以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos ＝.

(1)若曲線C與l只有一個公共點，求a的值；

(2)A，B為曲線C上的兩點，且∠AOB＝，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)a＝1;(2).

【解析】試題分析：（1）直線和圓只有一個公共點故得到圓心到直線的距離等于半徑，進而求得參數(shù)值；(2)由余弦定理得到|AB|2＝3a2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|·cos，由均值放縮得到面積最值.

解析：

(1)由題意知，曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓，直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－3＝0.

由直線l與圓C只有一個公共點，可得＝a，

解得a＝1或a＝－3(舍去)，

所以a＝1.

(2)曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓，且∠AOB＝，由正弦定理得＝2a，所以|AB|＝a.

又|AB|2＝3a2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|·cos≥|OA|·|OB|，當(dāng)且僅當(dāng)|OA|＝|OB|時取等號，

所以S△OAB＝|OA|·|OB|sin≤×3a2×＝，所以△OAB面積的最大值為.