Question

19．已知幾何體O-ABCD的底面ABCD是邊長為$\sqrt{3}$的正的方形，且該幾何體體積的最大值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，則該幾何體外接球的表面積為8π．

Answer 1

分析 利用幾何體O-ABCD的底面ABCD是邊長為$\sqrt{3}$的正方形，且該幾何體體積的最大值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，求出幾何體O-ABCD的高的最大值，利用射影定理，求出該幾何體外接球的半徑，即可求出該幾何體外接球的表面積．

解答 解：∵幾何體O-ABCD的底面ABCD是邊長為$\sqrt{3}$的正方形，且該幾何體體積的最大值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×h$=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴幾何體O-ABCD的高的最大值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
設(shè)該幾何體外接球的半徑為R，
∵底面ABCD的外接圓的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴由射影定理可得（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$•（2R-$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$），
∴R=$\sqrt{2}$，
∴該幾何體外接球的表面積為4πR²=8π．
故答案為：8π．

點評 本題考查該幾何體外接球的表面積，考查四棱錐體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．