Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax-x²-lnx，若函數(shù)f（x）存在極值，且所有極值之和小于5+ln2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2$\sqrt{2}$，4）．

Answer 1

分析 由f（x）存在極值，得到其導(dǎo)數(shù)值在（0，+∞）上有根，設(shè)出方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得到不等式解出即可．

解答 解：f（x）=-$\frac{{2x}^{2}-ax+1}{x}$，
∵f（x）存在極值，
∴f′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根．
設(shè)方程2x²-ax+1=0的兩根為x₁，x₂，
由韋達(dá)定理得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{•x}_{2}=\frac{1}{2}＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
所以方程的根必為兩不等正根．
f（x₁）+f（x₂）=a（x₁+x₂）-（x₁²+x₂²）-（lnx₁+lnx₂）
=$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1-ln$\frac{1}{2}$＜5-ln$\frac{1}{2}$，∴a²＜16，-4＜a＜4，
由△=a²-8＞0，解得：a＞2$\sqrt{2}$，
故所求a的取值范圍為（2$\sqrt{2}$，4），
故答案為：（2$\sqrt{2}$，4）

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于中檔題．