Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x-3lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-3x-$\frac{1}{2}$a（a∈R）．
（1）若?x＞0，f（x）≥m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-2g（x），若F（x）在[1，5]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）?x＞0，f（x）≥m恒成立，∴m≤[f（x）]_min，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極小值與最小值即可得出．
（2）函數(shù)F（x）=f（x）-2g（x）在[1，5]上有零點，等價于方程f（x）-2g（x）=0在[1，5]上有解．化為$\frac{1}{2}{x^2}-4x+3lnx=a$．設(shè)$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}-4x+3lnx$．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，可得函數(shù)h（x）在[1，5]上值域即可得出．

解答 解：（1）由題意得f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=x-2-\frac{3}{x}=\frac{{{x^2}-2x-3}}{x}=\frac{（x+1）（x-3）}{x}$．
∵x＞0，∴f'（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：$f{（x）_{min}}=f（3）=-\frac{3}{2}-3ln3$．
∵f（x）≥m在（0，+∞）上恒成立，∴$m≤-\frac{3}{2}-3ln3$．
（2）函數(shù)F（x）=f（x）-2g（x）在[1，5]上有零點，
等價于方程f（x）-2g（x）=0在[1，5]上有解．
化簡，得$\frac{1}{2}{x^2}-4x+3lnx=a$．
設(shè)$h（x）=\frac{1}{2}{x^2}-4x+3lnx$．
則$h'（x）=x-4+\frac{3}{x}=\frac{（x-1）（x-3）}{x}$，∵x＞0，∴h'（x）、h（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞增	$-\frac{7}{2}$	單調(diào)遞減	$3ln3-\frac{15}{2}$	單調(diào)遞增

且$h（1）=-\frac{7}{2}$，$h（3）=3ln3-\frac{15}{2}$，$h（5）=3ln5-\frac{15}{2}$，
h（5）-h（1）=3ln5-4=ln5³-lne⁴＞0．
作出h（x）在[1，5]上的大致圖象（如圖所示）．
∴當$3ln3-\frac{15}{2}≤a≤3ln5-\frac{15}{2}$時，
$\frac{1}{2}{x^2}-4x+3lnx=a$在[1，5]上有解．
故實數(shù)a的取值范圍是$[3ln3-\frac{15}{2}，3ln5-\frac{15}{2}]$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法、函數(shù)的值域與零點，考查了分析問題與解決問題的能力、數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于難題．