Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足$2{a_{n+1}}+{a_n}=3（{n∈{N^*}}）$，且a₁=4，其前n項(xiàng)和為S_n，則滿足不等式$|{{S_n}-n-2}|＜\frac{1}{30}$的最小整數(shù)n是（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足$2{a_{n+1}}+{a_n}=3（{n∈{N^*}}）$，且a₁=4，變形為：a_n+1-1=$-\frac{1}{2}（{a}_{n}-1）$，a₁-2=2．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足$2{a_{n+1}}+{a_n}=3（{n∈{N^*}}）$，且a₁=4，
變形為：a_n+1-1=$-\frac{1}{2}（{a}_{n}-1）$，a₁-2=2．
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，公比為-$\frac{1}{2}$，首項(xiàng)為3．
∴a_n-1=$3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，即a_n=1+$3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴其前n項(xiàng)和為S_n=n+3×$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=n+2-2×$（-\frac{1}{2}）^{n}$．
不等式$|{{S_n}-n-2}|＜\frac{1}{30}$化為：$\frac{1}{{2}^{n-1}}$$＜\frac{1}{30}$，
則滿足不等式$|{{S_n}-n-2}|＜\frac{1}{30}$的最小整數(shù)n是6．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．