Question

4．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=$\sqrt{2}$，AB=1，AD=m（m＞0），E為BC的中點(diǎn)，且∠A₁ED=90°
（1）求異面直線A₁E與CD所成角的大��；
（2）若點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{M{B}_{1}}$，問：是否存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AD}$，MN∥平面A₁ED同時成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）以AB、AD、AA₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線A₁E與CD所成角．
（2）先求出M（1，0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），再求出平面A₁ED的法向量，從而能求出存在實(shí)數(shù)λ=$\frac{5}{3}$，使$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AD}$，MN∥平面A₁ED同時成立．

解答 解：（1）以AB、AD、AA₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A（0，0，0），B（1，0，0），A₁（0，0，$\sqrt{2}$），D（0，m，0），E（1，$\frac{m}{2}$，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（1，$\frac{m}{2}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{ED}$=（-1，$\frac{m}{2}$，0），
∵∠A₁ED=90°，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{ED}$=-1+$\frac{{m}^{2}}{4}$=0，解得m=2或m=-2（舍），
∴m=2，∴$\overrightarrow{E{A}_{1}}$=（-1，-1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{CD}$=（-1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{E{A}_{1}}，\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{E{A}_{1}}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{E{A}_{1}}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴異面直線A₁E與CD所成角為60°．
（2）存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AD}$，MN∥平面A₁ED同時成立，理由如下：
∵B（1，0，0），B₁（1，0，$\sqrt{2}$），設(shè)M（a，b，c），
∵點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{M{B}_{1}}$，∴（a-1，b，c）=$\frac{1}{2}$（1-a，-b，$\sqrt{2}-c$），
解得a=1，b=0，c=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∴M（1，0，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
∵存在實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AD}$，MN∥平面A₁ED，
∴N（0，2λ，0），$\overrightarrow{MN}$=（-1，λ，$\frac{\sqrt{2}}{3}$），
設(shè)平面A₁ED的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，1），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=x+y-\sqrt{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=-x+y=0}\end{array}\right.$，
解得$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}$=0，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}λ$+$\frac{\sqrt{2}}{3}$=0，解得$λ=\frac{5}{3}$．
∴存在實(shí)數(shù)λ=$\frac{5}{3}$，使$\overrightarrow{AN}$=λ$\overrightarrow{AD}$，MN∥平面A₁ED同時成立．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．