Question

12．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{b_n}{1-a_n^2}$（n∈N^*），則b₂₀₁₇=$\frac{2017}{2018}$．

Answer 1

分析 計算可得b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{2}{3}$，b₃=$\frac{3}{4}$；從而猜想b_n=$\frac{n}{n+1}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可求得．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，b₁=$\frac{1}{2}$，
∵b_n+1=$\frac{b_n}{1-a_n^2}$
=$\frac{_{n}}{1-（1-_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{2-_{n}}$，
∴b₂=$\frac{2}{3}$，b₃=$\frac{3}{4}$；
猜想b_n=$\frac{n}{n+1}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下，
當(dāng)n=1時，由以上知，顯然成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即b_k=$\frac{k}{k+1}$，
則b_k+1=$\frac{1}{2-_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+2}$，
即當(dāng)n=k+1時也成立；
故b₂₀₁₇=$\frac{2017}{2018}$，
故答案為：$\frac{2017}{2018}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推式的推導(dǎo)與應(yīng)用，同時考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題．