Question

9．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，D為BC邊上任意一點，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$＜0的概率為$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 根據題意畫出圖形，過點A作AM⊥BC，垂足為M，
由此得出當點D在線段MC內時，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$＜0，從而求出對應的概率值．

解答 解：如圖所示，
△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=2²+1²-2×2×1×cos120°=7，
∴BC=$\sqrt{7}$；
過點A作AM⊥BC，垂足為M，
則$\frac{1}{2}$AM•BC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin120°，
∴AM=$\frac{2×1×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
∴BM=$\sqrt{{AB}^{2}{-AM}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}）}^{2}}$=$\frac{5}{\sqrt{7}}$；
當點D在線段BM內時，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=|$\overrightarrow{AD}$|×|$\overrightarrow{DC}$|×cos∠ADB＜0，
故所求的概率為P=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{\frac{5}{\sqrt{7}}}{\sqrt{7}}$=$\frac{5}{7}$．
故答案為：$\frac{5}{7}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積與幾何概型的概率計算問題，也考查了轉化法與數形結合思想的應用問題，是基礎題目．