Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A=$\frac{π}{6}$，$\frac{bcosA-c}{a}$=$\frac{bcosC-a}$．
（I）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）由已知式子和余弦定理結(jié)合多項(xiàng)式的原可得b=c或b²=c²+a²，分別由等腰三角形和直角三角形可得；
（Ⅱ）結(jié)合a=2，分別由等腰三角形和直角三角形的知識(shí)和面積公式可得．

解答 解：（I）∵在△ABC中，$\frac{bcosA-c}{a}$=$\frac{bcosC-a}$，
∴b²cosA-bc=abcosC-a²，由余弦定理可得：
b²•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$--bc=ab•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$-a²，
∴$\frac{2c}$（b²+c²-a²）-bc=$\frac{1}{2}$（a²+b²-c²）-a²，
同乘以2c可得b（b²+c²-a²）-2bc²=c（a²+b²-c²）-2ca²，
∴b（b²-c²-a²）=c（-a²+b²-c²），
∴（b²-c²-a²）（b-c）=0，
∴b=c或b²=c²+a²，
當(dāng)b=c時(shí)，由等腰三角形可得角C=$\frac{5π}{12}$；
當(dāng)b²=c²+a²時(shí)，由直角三角形可得角C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵a=2，∴當(dāng)b=c時(shí)，三角形的高h(yuǎn)=tan=$\frac{5π}{12}$
=tan（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}×1}$=2+$\sqrt{3}$，
此時(shí)三角形的面積S=$\frac{1}{2}$×2×h=2+$\sqrt{3}$；
當(dāng)b²=c²+a²時(shí)，由直角三角形可得c=$\frac{2}{tan\frac{π}{6}}$=2$\sqrt{3}$，
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$ac=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及分類討論和三角形的面積公式，屬中檔題．