Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k，|$\overrightarrow$|=k（k為正常數(shù)），且（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）$•\overrightarrow$=0，則向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角是$\frac{π}{6}$；若t∈R，則|（1-2t）$\overrightarrow$+t$\overrightarrow{a}$|的最小值為k．

Answer 1

分析 由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得θ的值．根據(jù)題意利用求向量的模的方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得|（1-2t）$\overrightarrow$+t$\overrightarrow{a}$|取得最小值．

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角是θ，由題意可得（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）$•\overrightarrow$=0=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$k²•cosθ-2k²，
求得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$．
∵|（1-2t）$\overrightarrow$+t$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{[（1-2t）\overrightarrow+t\overrightarrow{a}]}^{2}}$=$\sqrt{{（1-2t）}^{2}{•\overrightarrow}^{2}{+t}^{2}{•\overrightarrow{a}}^{2}+2（1-2t）•t\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{{（1-4t+{4t}^{2}）•k}^{2}+2t（1-2t）•{2k}^{2}+\frac{16}{3}{{•t}^{2}•k}^{2}}$=k•$\sqrt{\frac{4}{3}{•t}^{2}+1}$，
故當(dāng)t=0時(shí)，|（1-2t）$\overrightarrow$+t$\overrightarrow{a}$|取得最小值為k，
故答案為：$\frac{π}{6}$；k．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．