Question

2．已知一個(gè)矩形內(nèi)接于半徑為5的圓．
（1）當(dāng)矩形周長(zhǎng)最大時(shí)，求其面積．
（2）當(dāng)矩形面積最大時(shí)，求其周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)矩形的對(duì)角線與一邊的夾角為α，則矩形的邊長(zhǎng)為10cosα，10sinα，C=10cosα+10sinα，利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，即可得出結(jié)論．
（2）S=10cosα•10sinα=50sin2α，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值．

解答 解：（1）設(shè)矩形的對(duì)角線與一邊的夾角為α，則矩形的邊長(zhǎng)為10cosα，10sinα，
∴C=10cosα+10sinα=10$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=1，即α=$\frac{π}{4}$時(shí)，C最大
∴S=10cosα•10sinα=50sin2α=50，
（2）∵S=10cosα•10sinα=50sin2α，
當(dāng)sin2α=1時(shí)，即α=$\frac{π}{4}$時(shí)，面積大，
此時(shí)周長(zhǎng)為C=10cosα+10sinα=10$\sqrt{2}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值問(wèn)題，考查三角函數(shù)知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．