7．已知x＞0，y＞0且x2+2y2=3，則x$\sqrt{1+2{y^2}}$的最大值是2．

分析 由x2+2y2=3，則x$\sqrt{1+2{y^2}}$=x$\sqrt{4-{x}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}（4-{x}^{2}）}$≤$\frac{{x}^{2}+4-{x}^{2}}{2}$，問題得以解決．

解答 解：x＞0，y＞0且x2+2y2=3，
則x$\sqrt{1+2{y^2}}$=x$\sqrt{4-{x}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}（4-{x}^{2}）}$≤$\frac{{x}^{2}+4-{x}^{2}}{2}$=2，當且僅當x=$\sqrt{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號，
故x$\sqrt{1+2{y^2}}$的最大值是2，
故答案為：2

點評 本題考查了基本不等式的應用，關鍵掌握等號成立的條件，屬于中檔題．

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