Question

12．討論函數(shù)f（x）=$\frac{x-2}{x+2}$e^x的單調(diào)性，并證明當(dāng)x＞0時(shí)，（x-2）e^x+x+2＞0．

Answer 1

分析 求導(dǎo)，f'（x）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}}{（x+2）^{2}}$，令f'（x）＞0，即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，由當(dāng)x＞0時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知$\frac{x-2}{x+2}$e^x＞f（0）=-1，即可證，（x-2）e^x+x+2＞0．

解答 解：f（x）=$\frac{x-2}{x+2}$e^x，f'（x）=e^x（$\frac{x-2}{x+2}$+$\frac{4}{（x+2）^{2}}$）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}}{（x+2）^{2}}$，
∵當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，x＜-2或x＞-2，
∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上單調(diào)遞增，
證明：∴x＞0時(shí)，$\frac{x-2}{x+2}$e^x＞f（0）=-1
∴（x-2）e^x+x+2＞0．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及導(dǎo)數(shù)代表的意義，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．