Question

4．過拋物線x²=2y上一點(diǎn)A（不與原點(diǎn)O重合）作拋物線的切線m，過A作m的垂線l，若l恰好經(jīng)過（0，2），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，1）或（-$\sqrt{2}$，1）．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)（a，$\frac{{a}^{2}}{2}$），用點(diǎn)斜式求得m的垂線l的方程，再把點(diǎn)（0，2）代入可得a的值，從而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)（a，$\frac{{a}^{2}}{2}$），則切線m的斜率為y′|_x=a=a，
m的垂線l的方程為y-$\frac{{a}^{2}}{2}$=-$\frac{1}{a}$•（x-a）．
把點(diǎn)（0，2）代入可得a=±$\sqrt{2}$，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，1）或（-$\sqrt{2}$，1），
，故答案為：$（\sqrt{2}，1）$或$（-\sqrt{2}，1）$．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于中檔題．