Question

11．學(xué)校在軍訓(xùn)過程中要進(jìn)行打靶訓(xùn)練，給每位同學(xué)發(fā)了五發(fā)子彈，打靶規(guī)則：每個同學(xué)打靶過程中，若 連續(xù)兩發(fā)命中或者 連續(xù)兩發(fā)不中則要停止射擊，否則將子彈打完．假設(shè)張同學(xué)在向目標(biāo)射擊時，每發(fā)子彈的命中率為$\frac{2}{3}$．
（1）求張同學(xué)前兩發(fā)只命中一發(fā)的概率；
（2）求張同學(xué)在打靶過程中所耗用的子彈數(shù)X的分布列與期望．

Answer 1

分析 （1）記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件A_k，則A₁，A₂，A₃，A₄，A₅相互獨(dú)立，且$P（{A_k}）=\frac{2}{3}$，其中k=1，2，3，4，5，由此能求出張同學(xué)前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率．
（2）X的所有可能取值為2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）記“第k發(fā)子彈命中目標(biāo)”為事件A_k，則A₁，A₂，A₃，A₄，A₅相互獨(dú)立，
且$P（{A_k}）=\frac{2}{3}$，其中k=1，2，3，4，5
∴張同學(xué)前兩發(fā)子彈只命中一發(fā)的概率為$P（{A_1}\overline{A_2}）+P（\overline{A_1}{A_2}）=P（{A_1}）P（\overline{A_2}）+P（\overline{A_1}）P（{A_2}）=\frac{4}{9}$…4分
（2）X的所有可能取值為2，3，4，5，
$P（X=2）=P（{A_1}{A_2}）+P（\overline{A_1}\overline{A_2}）=\frac{5}{9}$，…6分
$P（X=3）=P（\overline{A_1}{A_2}{A_3}）+P（{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}）=\frac{2}{9}P（\overline{A_k}）=\frac{1}{3}$，…8分
$P（X=4）=P（{A_1}\overline{A_2}{A_3}{A_4}）+P（\overline{A_1}{A_2}\overline{A_3}\overline{A_4}）=\frac{10}{81}$，…9分
$P（X=5）=P（{A_1}\overline{A_2}{A_3}\overline{A_4}）+P（\overline{A_1}{A_2}\overline{A_3}{A_4}）=\frac{8}{81}$，…10分
綜上，X的分布列為

X	2	3	4	5
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{10}{81}$	$\frac{8}{81}$

故E（X）=$2×\frac{5}{9}+3×\frac{2}{9}+4×\frac{10}{81}+5×\frac{8}{81}$=$\frac{224}{81}$．…12分．

點(diǎn)評 本題考查古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查對立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．