Question

14．已知點(diǎn)M是圓心為E的圓（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F（$\sqrt{3}$，0），線段MF的垂直平分線交EM于點(diǎn)P．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)O作直線l交（Ⅰ）中的軌跡C于點(diǎn)A，B，點(diǎn)D滿足$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$，試求四邊形AFBD的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）得到|PM|=|PF|，求出點(diǎn)P的軌跡是橢圓，其中2a=4，c=$\sqrt{3}$，求出橢圓方程即可；
（Ⅱ）求出S_AFBD=2S_△AFB，通過討論AB是短軸、AB是長(zhǎng)軸的情況，求出四邊形的面積即可．

解答 解：（Ⅰ）由于點(diǎn)P為線段MF的垂直平分線，
故|PM|=|PF|，
故|PE|+|PF|=|PE|+|PM|=|ME|=4＞2$\sqrt{3}$，
故點(diǎn)P的軌跡是橢圓，其中2a=4，c=$\sqrt{3}$，
因此P點(diǎn)的軌跡C的方程是：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{FD}$=$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$，知四邊形AFBD是平行四邊形，
故S_AFBD=2S_△AFB，
（1）AB是短軸時(shí)，
S_△AFB=$\frac{1}{2}$|AB|•|OF|=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$
即S_AFBD=2$\sqrt{3}$；
（2）AB是長(zhǎng)軸時(shí)，易知AFBD不是四邊形，故AB斜率不是0；
（3）直線AB的斜率存在且不是0時(shí)，設(shè)其斜率為k，
則直線AB的方程是：y=kx（k≠0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去x得：
（1+4k²）y²-4k²=0，
故y₁+y₂=0，y₁y₂=$\frac{-{4k}^{2}}{1+{4k}^{2}}$，
S_AFBD=2S_△ABF=2×$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\sqrt{3}$•$\sqrt{{{（y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-{{4y}_{1}y}_{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{1{6k}^{2}}{1+{4k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+4}}$，
而$\frac{1}{{k}^{2}}$+4＞4，故0＜$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+4}}$＜$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$=2$\sqrt{3}$，
綜上，四邊形AFBD的面積的取值范圍是（0，2$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的軌跡方程，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．