Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，若點A_n（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在函數(shù)f（x）=-x+c的圖象上運動，其中c是與x無關(guān)的常數(shù)，且a₁=3（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=a${\;}_{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，即S_n=-n²+cn，再利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）b_n=a${\;}_{{a}_{n}}$=a_-2n+5=4n-5．可知：n=1時，b₁=-1＜0；n≥2時，b_n＞0．即可得出．

解答 解：（1）∵點A_n（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在函數(shù)f（x）=-x+c的圖象上運動，其中c是與x無關(guān)的常數(shù)，且a₁=3（n∈N^*）．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，即S_n=-n²+cn，
∴n=1時，a₁=S₁=-1+c=3，解得c=4．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-n²+4n-[-（n-1）²+4（n-1）]=-2n+5，n=1時也成立．
∴a_n=-2n+5．
（2）b_n=a${\;}_{{a}_{n}}$=a_-2n+5=-2（-2n+5）+5=4n-5．
∴n=1時，b₁=-1＜0；
n≥2時，b_n＞0．
因此，當n=1時，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n取得最小值-1．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列前n項和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．