Question

4．在數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=$\frac{5{a}_{n}-6}{{a}_{n}}$，n=1，2，3，…
（1）若對于n∈N^*，均有a_n+1=a_n成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對于n∈N^*，均有a_n+1＞a_n成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）請你構(gòu)造一個無窮數(shù)列{b_n}，使其滿足下列兩個條件，并加以證明：①b_n＜b_n+1，n=1，2，3，…；②當(dāng)a為{b_n}中的任意一項(xiàng)時，{a_n}中必有某一項(xiàng)的值為1．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n，我們不難根據(jù)a₁=a，a_n+1=$\frac{5{a}_{n}-6}{{a}_{n}}$，得到一個關(guān)于a的方程，解方程可得a的值．
（2）由a_n+1＞a_n，我們不難根據(jù)a₁=a，a_n+1=$\frac{5{a}_{n}-6}{{a}_{n}}$，得到一個關(guān)于a的不等式，解不等式可得a的值，再代入已知條件進(jìn)行驗(yàn)證，可得結(jié)果．
（3）我們可以根據(jù)已知條件中數(shù)列的形式，構(gòu)造出滿足條件的無窮數(shù)列，然后再結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行證明．

解答 解：（1）由題意得a_n+1=a_n=a，
又知a_n+1=$\frac{5{a}_{n}-6}{{a}_{n}}$，
∴a=$\frac{5a-6}{a}$，得a=2或a=3，符合題意．
（2）設(shè)a_n+1＞a_n，即$\frac{5{a}_{n}-6}{{a}_{n}}$＞a_n，解得a_n＜0或2＜a_n＜3，
∴要使a₂＞a₁成立，則a₁＜0或2＜a₁＜3，
①當(dāng)a₁＜0時，a₂=$\frac{5{a}_{1}-6}{{a}_{1}}$=5-$\frac{6}{{a}_{1}}$＞5，
而a₃-a₂=$\frac{5{a}_{2}-6}{{a}_{2}}$-a₂=-$\frac{（{a}_{2}-3）（{a}_{2}-2）}{{a}_{2}}$＜0，
即a₃＜a₂，不滿足題意．
②當(dāng)2＜a₁＜3時，
a₂=5-$\frac{6}{{a}_{1}}$∈（2，3），a₃=5-$\frac{6}{{a}_{2}}$∈（2，3），
∴a_n∈（2，3），
此時a_n+1-a_n=-$\frac{（{a}_{n}-3）（{a}_{n}-2）}{{a}_{n}}$＞0，
∴a_n+1＞a_n，滿足題意．
綜上，a∈（2，3）
（3）構(gòu)造數(shù)列{b_n}：b₁=$\frac{3}{2}$，b_n+1=$\frac{6}{5-_{n}}$
下面證明滿足要求．
此時b_n=5-$\frac{6}{_{n+1}}$，不妨設(shè)a取b_n，
那么a₂=5-$\frac{6}{{a}_{1}}$=5-$\frac{6}{_{n}}$=b_n-1，a₃=5-$\frac{6}{{a}_{2}}$=5-$\frac{6}{_{n-1}}$=b_n-2，
a_n=5-$\frac{6}{{a}_{n-1}}$=5-$\frac{6}{_{2}}$=b₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=5-$\frac{6}{{a}_{n}}$=5-$\frac{6}{_{1}}$=1，
由b₁=$\frac{3}{2}$＜2，
可得b_n+1=$\frac{6}{5-_{n}}$＜2，
∵b_n+1-b_n=$\frac{6}{5-_{n}}$-b_n=$\frac{（_{n}-2）（_{n}-3）}{5-_{n}}$＞0
∴b_n＜b_n+1
又b_n＜2≠5，
∴數(shù)列{b_n}是無窮數(shù)列，
因此構(gòu)造的數(shù)列{b_n}符合題意．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的解法，即數(shù)列的函數(shù)的特征，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．