Question

（理）正數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，常數(shù)
（1）求證：是一個(gè)定值；
（2）若數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，求該數(shù)列的周期；
（3）若數(shù)列是一個(gè)有理數(shù)等差數(shù)列，求．

Answer 1

（理）證明：（1）               （1） 
     （2）
：     （3）
           （4）
……………4分
（2）計(jì)算                              ……………6分
根據(jù)數(shù)列是隔項(xiàng)成等差，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)：，，，，，。。。。
當(dāng)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是單調(diào)遞增的，所以不可能是周期數(shù)列         ……………8分
所以時(shí)，數(shù)列寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)：，，，，，。。。。
所以當(dāng)且時(shí)，該數(shù)列的周期是2，                              ……………9分
當(dāng)時(shí)，該數(shù)列的周期是1，                                         ……………10分
（3）因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)有理等差數(shù)列，所以
化簡(jiǎn)，
是有理數(shù)                         ……………12分
設(shè),是一個(gè)完全平方數(shù)，設(shè)為，均是非負(fù)整數(shù)
時(shí)，                                                 ……………14分
時(shí)=可以分解成8組，其中
只有符合要求，                                                        ……………16分
此時(shí)                                          ……………18分
或者，                                                         ……………12分
等差數(shù)列的前幾項(xiàng)：，，，。。。。
                                                              ……………14分
因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)有理等差數(shù)列
是一個(gè)自然數(shù)，                                                    ……………16分
此時(shí)                                    ……………18分
如果沒(méi)有理由，猜想：，解答   得2分
                      得2分
 

略