Question

5．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的一段圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]上的單調減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由圖象相鄰的最高點和最低點的橫坐標之差可求最小正周期，最高點縱坐標可求得振幅，將最高點代入解析式中求初相ϕ，可得函數(shù)的解析式
（2）正弦函數(shù)的單調增區(qū)間為$[2kπ-\frac{π}{2}，2kπ+\frac{π}{2}]$，所以可令$2kπ-\frac{π}{2}≤ωx+ϕ≤2kπ+\frac{π}{2}$，由此解出x的范圍，即為要求的f（x）的單調增區(qū)間．
（3）由（2）結合x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，可得函數(shù)f（x）在[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]上的單調減區(qū)間．

解答 解：（1）由題意知：$A=2，T=2×（{\frac{3π}{8}+\frac{π}{8}}）=π$，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，
又$2sin[2×（{-\frac{π}{8}}）+φ]=2$，∴$φ-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z），$φ=\frac{3π}{4}+2kπ$（k∈Z），又|φ|＜π，∴$φ=\frac{3π}{4}$．
∴函數(shù)f（x）的解析式：$f（x）=2sin（2x+\frac{3π}{4}）$．
（2）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{3π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，得$kπ-\frac{5π}{8}≤x≤kπ-\frac{π}{8}$，
所以f（x）的增區(qū)間為$[kπ-\frac{5π}{8}，kπ-\frac{π}{8}]$，k∈Z．
（3）再根據(jù)x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，可得函數(shù)f（x）在[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]上的單調減區(qū)間為[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．