Question

15．對數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，a_n＞0（n=1，2，…），a₁=a₂=1，且對n≥2有（a₁+a₂+…+a_n）a_n=（a₁+a₂+…+a_n-1）a_n+1，則S₁S₂+S₂S₃+S₃S₄+…+S_n-1S_n=$\frac{{{2^{2n-1}}-2}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得S_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，再根據(jù)遞推公式得到a_n²=a_n+1a_n-1，繼而得到a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，再求出前n項和，再根據(jù)求和公式求出答案．

解答 解：∵（a₁+a₂+…+a_n）a_n=（a₁+a₂+…+a_n-1）a_n+1=（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n-a_n）a_n+1=（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n）a_n+1-a_na_n+1，
∴a_na_n+1=（a₁+a₂+…+a_n）（a_n+1-a_n），
當(dāng)n=2時，a₂a₃=（a₁+a₂）（a₃-a₂），
∴a₃=2，
∴S_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，
∴S_n-1=$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，n≥3，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，
整理得a_n²=a_n+1a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}從第3項開始為等比數(shù)列，
當(dāng)n=3時，a₃²=a₄a₂，∴a₄=4，
∴q=$\frac{4}{2}$=2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$
當(dāng)n≥2時，S_n=1+$\frac{1•（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2^n-1，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$
當(dāng)n≥2時，S_n•S_n-1=2^n-12^n-2=2^2n-3，
∴S₁S₂+S₂S₃+S₃S₄+…+S_n-1S_n=2¹+2^3-+2⁵+…+2^2n-3=$\frac{2（1-{2}^{2n-3}）}{1-4}$=$\frac{{2}^{2n-1}-2}{3}$
故答案為：$\frac{{{2^{2n-1}}-2}}{3}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，考查了分析問題解決問題的，以及運算能力，屬于難題．