Question

14．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M（$\frac{2π}{3}$，-2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求得ω，由最低點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合五點(diǎn)法作圖求得A及φ的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅲ）當(dāng)x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）由圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為$\frac{π}{2}$，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，
再根據(jù)圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M（$\frac{2π}{3}$，-2），可得A=2，2×$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，故函數(shù)的值域?yàn)閇-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．