Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=$\sqrt{2}$，PA=PD=CD=CB=1，E總是線段PB上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)E點(diǎn)在什么位置時(shí)，CE∥平面PAD？證明你的結(jié)論．
（Ⅱ）對(duì)于（Ⅰ）中的點(diǎn)E，求AE與底面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PA的中點(diǎn)F，連接DF，EF，由已知結(jié)合三角形中位線定理可得四邊形DFEC是平行四邊形，從而得到CE∥DF．再由線面平行的判定得答案；
（Ⅱ）由題意證明OA，OG，OP兩兩互相垂直，故以O(shè)A，OG，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz．求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，求得$\overrightarrow{AE}$的坐標(biāo)，再求出底面ABCD的一個(gè)法向量，則AE與底面ABCD所成角的正弦值可求；
（Ⅲ）分別求出平面APD與平面PCD的一個(gè)法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，則二面角A-PD-C的正弦值可求．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)E為PB的中點(diǎn)時(shí)，CE∥平面PAD．
證明如下：取PA的中點(diǎn)F，連接DF，EF，則EF∥$\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}AB$．
由已知CD$∥\frac{1}{2}AB$，CD=$\frac{1}{2}AB$，則EF∥CD，EF=CD．
∴四邊形DFEC是平行四邊形，∴CE∥DF．
又CE?平面PAD，DF?平面PAD，∴CE∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)O，AB的中點(diǎn)G，連接OP，OG，
∵PA=PD，∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
由已知可得AD²+BD²=AB²，∴BD⊥AD，
又OG∥BD，∴OG⊥AD，
∴OA，OG，OP兩兩互相垂直，
故以O(shè)A，OG，OP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz．
A（$\frac{\sqrt{2}}{2}，0，0$），P（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}，0$），E（$-\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{4}$），
D（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，0，0$），C（$-\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）．
∴$\overrightarrow{AE}=（-\frac{3\sqrt{2}}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{4}）$，
$\overrightarrow{OP}=（0，0，\frac{\sqrt{2}}{2}）$是平面ABCD的一個(gè)法向量，
設(shè)AE與底面ABCD所成角為θ，則
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{AE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{OP}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{14}$；
（Ⅲ）平面APD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{a}=（0，1，0）$，
$\overrightarrow{PD}=（-\frac{\sqrt{2}}{2}，0，-$$\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{PC}$=（$-\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
再設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{-\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，則x=-1，y=-1，
∴$\overrightarrow=（-1，-1，1）$．
∴二面角A-PD-C的余弦值的絕對(duì)值為$\frac{|\overrightarrow{a}•\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-PD-C的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了利用空間向量求線面角和面面角，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．