Question

【題目】已知點(diǎn)P(2,2),圓，過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;

(2)當(dāng)|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)直線的方程為，的面積為.

【解析】

求得圓的圓心和半徑.

（1）當(dāng)三點(diǎn)均不重合時，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，是定點(diǎn)，所以的軌跡是以為直徑的圓（除兩點(diǎn)），根據(jù)圓的圓心和半徑求得的軌跡方程.當(dāng)三點(diǎn)有重合的情形時，的坐標(biāo)滿足上述求得的的軌跡方程.綜上可得的軌跡方程.

（2）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)（垂徑定理），求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.根據(jù)等腰三角形的幾何性質(zhì)求得的面積.

圓，故圓心為，半徑為.

(1)當(dāng)C,M,P三點(diǎn)均不重合時,∠CMP=90°,所以點(diǎn)M的軌跡是以線段PC為直徑的圓(除去點(diǎn)P,C),線段中點(diǎn)為，，故的軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).

當(dāng)C,M,P三點(diǎn)中有重合的情形時,易求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)或(0,4).

綜上可知,點(diǎn)M的軌跡是一個圓,軌跡方程為(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)由(1)可知點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，為半徑的圓.

由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上.又P在圓N上,從而ON⊥PM.因為ON的斜率為3,所以的斜率為，故的方程為，即.

又易得|OM|=|OP|=，點(diǎn)O到的距離為，，

所以△POM的面積為.