Question

【題目】設.

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，問：是否存在實數(shù)c使得對所有成立？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；證明見解析；

【解析】

（1）根據(jù)已知條件證得數(shù)列是等差數(shù)列，由此求得，進而求得數(shù)列的通項公式.

（2）設，則.利用數(shù)學歸納法證得、.進而證得、，從而證得結(jié)論成立.

（1）當時，，，

兩邊平方得：.

從而是首項為，公差為1的等差數(shù)列，

故，

由于，即，

所以

（2）設，則.

先證：.①

當時，結(jié)論明顯成立.

假設時結(jié)論成立，即.

由于在上為減函數(shù)，從而

.

即.這就是說，當時結(jié)論成立故①成立.

再證：.②

當時，，所以，即時②成立.

假設時，結(jié)論成立，即.

由①及在上為減函數(shù)，得

，

.

這就是說，當時②成立.所以②對一切成立.

由②得，

即，

因此③.

又由①②及在上為減函數(shù)，得，即.

.解得④.

綜上，由②③④知，存在，使對一切成立.