Question

13．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，則f（log₂$\frac{1}{3}$）=-$\frac{1}{3}$，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．

Answer 1

分析 利用對(duì)數(shù)恒等式，以及函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，求得結(jié)果．

解答 解：函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，
則f（log₂$\frac{1}{3}$）=f（${log}_{\frac{1}{2}}3$）=-f（-${log}_{\frac{1}{2}}3$）=-f（${log}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}$）=-${（\frac{1}{2}）}^{{log}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}}$=-$\frac{1}{3}$．
由于當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，∴f（x）∈（0，1），
再根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可得當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）∈（-1，0）．
又f（0）=0，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1），
故答案為：-$\frac{1}{3}$；（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)恒等式，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．