Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，0≤x＜4}\\{lo{g}_{2}（x+4），4≤x≤12}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，當0≤x₁＜4≤x₂≤12時，f（x₁）=f（x₂），則x₁f（x₂）的最大值是$\frac{256}{27}$．

Answer 1

分析 由題意作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，0≤x＜4}\\{lo{g}_{2}（x+4），4≤x≤12}\end{array}\right.$的圖象，從而可得1≤x₁≤3，x₁f（x₂）=-x₁³+4${{x}_{1}}^{2}$，記g（x₁）=-x₁³+4${{x}_{1}}^{2}$，則g′（x₁）=-3${{x}_{1}}^{2}$+8x₁=-3x₁（3x₁-8），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及最值，從而求得．

解答 解：由題意作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，0≤x＜4}\\{lo{g}_{2}（x+4），4≤x≤12}\end{array}\right.$的圖象如下，

結合圖象可知，
3≤-${{x}_{1}}^{2}$+4x₁≤4，
解得，1≤x₁≤3，
故x₁f（x₂）=x₁f（x₁）
=x₁（-${{x}_{1}}^{2}$+4x₁）=-x₁³+4${{x}_{1}}^{2}$，
記g（x₁）=-x₁³+4${{x}_{1}}^{2}$，g′（x₁）=-3${{x}_{1}}^{2}$+8x₁=-3x₁（3x₁-8），
故g（x₁）在[1，$\frac{8}{3}$]上是增函數(shù)，在（$\frac{8}{3}$，3]上是減函數(shù)，
故x₁f（x₂）的最大值是g（$\frac{8}{3}$）=$\frac{256}{27}$，
故答案為：$\frac{256}{27}$．

點評 本題考查了數(shù)形結合與轉(zhuǎn)化思想的方法應用，同時考查了導數(shù)的綜合應用．