Question

在周長為定值的DDEC中,已知,動點C的運動軌跡為曲線G,且當動點C運動時,有最小值．

（1）以DE所在直線為x軸,線段DE的中垂線為y軸建立直角坐標系,求曲線G的方程;

（2）直線l分別切橢圓G與圓(其中)于A、B兩點,求|AB|的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由已知得是常數(shù)，設(shè)，可以判斷動點的軌跡是橢圓，且，在中，利用余弦定理結(jié)合橢圓定義列方程得，利用基本不等式求的最大值，從而得的最小值，列方程求，從而橢圓方程可求；（2）因為直線和圓、橢圓相切，故設(shè)直線方程，分別與橢圓、圓的方程聯(lián)立，利用，得的等式，并利用韋達定理的關(guān)系式和，分別求出切點的橫坐標，利用兩點弦長公式

，并結(jié)合的等式，得關(guān)于自變量的函數(shù)，再求其值域得的范圍.

試題解析：(1)設(shè) |CD|+|CE|=2a  (a>4)為定值,所以C點的軌跡是以D、E為焦點的橢圓,所以焦距2c=|DE|=8.，

因為，又因為

，所以,由題意得 . 所以C點軌跡G 的方程為  ；

(2)設(shè)分別為直線與橢圓和圓的切點, 直線AB的方程為: ，因為A既在橢圓上,又在直線AB上,從而有, 消去得:，由于直線與橢圓相切,故 ,從而可得: ①             ②， 由消去得:，由于直線與圓相切,得:③，     ④ ，由②④得:   ;，①③得:  

,;,從而.

考點：1、橢圓的定義及其標準方程；2、基本不等式；3、兩點之間的距離公式.