Question

在周長為定值的△ABC中，已知|AB|=2

3

，動點C的運動軌跡為曲線G，且當動點C運動時，cosC有最小值-

1

2

．
（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，求曲線G的方程．
（2）過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交曲線G于M，N兩點．將線段MN的長|MN|表示為m的函數(shù)

 

，并求|MN|的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)|CA|+|CB|=2a（a＞

3

）為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，焦距2c=|AB|=2

3

，利用余弦定理及基本不等式，結(jié)合cosC有最小值-

1

2

，即可求得曲線G的方程；
（2）由題意知，|m|≥1，分類討論：當m=±1時，|MN|=

3

；當|m|＞1時，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），代入橢圓方程，消元，由l與圓x²+y²=1相切，得

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1，由此可得線段MN的長|MN|表示為m的函數(shù)，利用基本不等式，即可求得|MN|的最大值．

解答：解：（1）設(shè)|CA|+|CB|=2a（a＞

3

）為定值，所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，
所以焦距2c=|AB|=2

3

．（2分）
因為cosC=

|CA|2+|CB|2-(2 3 )2

2|CA||CB|

=

(|CA|+|CB|)2-2|CA||CB|-12

2|CA||CB|

=

2a2-6

|CA||CB|

-1
又 |CA|•|CB|≤(

2a

2

)2=a2，所以 cosC≥1-

6

a2

，
由題意得1-

6

a2

=-

1

2

，a2=4．
所以C點軌跡G的方程為

x2

4

+y2=1(y≠0)（6分）
（2）由題意知，|m|≥1．
當m=1時，切線l的方程為x=1，點M，N的坐標分別為（1，-

3

2

），（1，

3

2

），此時|MN|=

3

．
當m=-1時，同理可知|MN|=

3

．（7分）
當|m|＞1時，設(shè)切線l的方程為y=k（x-m），代入橢圓方程，消元得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．（8分）
設(shè)M，N兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x₁x₂=

4k2m2-4

1+4k2

，
又由l與圓x²+y²=1相切，得

|km|

k2+1

=1，即m²k²=k²+1，
所以|MN|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 |m|

m2+3

．（12分）
由于當m=±1時，|MN|=

3

．
所以|MN|=

4 3 |m|

m2+3

，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．
因為|MN|=

4 3 |m|

m2+3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2，且當m=±

3

時，|MN|=2．
所以|MN|的最大值為2．（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查基本不等式的運用，考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定曲線方程與函數(shù)解析式．