在周長(zhǎng)為定值的△ABC中,已知|AB|=6,且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí),cosC有最小值為
7
25

(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)與(Ⅰ)中的曲線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn),求|
BM
|•|
BN
|
的最小值的集合.
分析:(Ⅰ)P點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,2c=|AB|,由余弦定理可得cosC=
|CB|2+|CA|2-62
2|CB|•|CA|
=
(|CB|+|CA|)2-2|CB||CA|-36
2|CB|•|CA|
=
2a2-18
|CB|•|CA|
-1
及基本不等式|CA||CB|≤(
2a
2
)
2
=a2
,可得cosC≥1-
18
a2
,從而可求a,及C點(diǎn)的軌跡方程
(Ⅱ)不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為A(-3,0),M(x1,y1),N(x2,y2).(1)當(dāng)直線(xiàn)MN的傾斜角不為900時(shí),設(shè)其方程為 y=k(x+3)代入橢圓方程化簡(jiǎn),顯然有△≥0,由橢圓第二定義可得|
BM
|•|
BN
|
=(5-
3
5
x1
)(5-
3
5
x2
)=25-3(x1+x2+
9
25
x1x2
及方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求|BM|•|BN|取最小值,(2)當(dāng)直線(xiàn)MN的傾斜角為90°時(shí),x1=x2=-3,得 |
BM
|•|
BN
|=(
34
5
)
2
>16
,結(jié)合橢圓
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
,故k≠0,這樣的M、N不存在.
解答:解:(Ⅰ) 以AB所在直線(xiàn)為x軸,線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系,
設(shè)|CA|+|CB|=2a(a>3)為定值,所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,
所以焦距 2c=|AB|=6
因?yàn)?span id="7vpt9pt" class="MathJye">cosC=
|CB|2+|CA|2-62
2|CB|•|CA|
=
(|CB|+|CA|)2-2|CB||CA|-36
2|CB|•|CA|
=
2a2-18
|CB|•|CA|
-1
又 |CA||CB|≤(
2a
2
)
2
=a2
,
所以cosC≥1-
18
a2

由題意得 1-
18
a2
=
7
25
,∴a2=25
此時(shí),|PA|=|PB|,P點(diǎn)坐標(biāo)為 P(0,±4).
所以C點(diǎn)的軌跡方程為 
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
 
(Ⅱ)不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為A(-3,0),M(x1,y1),N(x2,y2
(1)當(dāng)直線(xiàn)MN的傾斜角不為900時(shí),設(shè)其方程為 y=k(x+3)代入橢圓方程化簡(jiǎn),得 
(
1
25
+
k2
16
)x2+
3
8
k2x+(
9k2
16
-1)=0

顯然有△≥0,所以 x1+x2 =-
150k2
16+25k2
,x1x2=
225k2-400
16+25k2

而由橢圓第二定義可得|
BM
|•|
BN
|
=(5-
3
5
x1
)(5-
3
5
x2
)=25-3(x1+x2+
9
25
x1x2

=25+
450k2
16+25k2
+
81k2-144
16+25k2
=25+
531k2-144
16+25k2
=25+
531
25
k2-
144
531
k2+
16
25


只要考慮 
k2-
144
531
k2+
16
25
的最小值,即考慮1-
16
25
+
144
531
k2+
16
25
取最小值,
∴當(dāng)k=0時(shí),|
BM
|•|
BN
|
取最小值16;
(2)當(dāng)直線(xiàn)MN的傾斜角為90°時(shí),x1=x2=-3,得 |
BM
|•|
BN
|=(
34
5
)
2
>16

x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
,故k≠0,這樣的M、N不存在,即|
BM
|•|
BN
|
的最小值的集合為空集
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)及余弦定理求解橢圓的方程,利用函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值問(wèn)題,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在周長(zhǎng)為定值的△ABC中,已知AB=6,且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí),cosC有最小值為
725

(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程;
(Ⅱ)(理)過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)與(Ⅰ)中的曲線(xiàn)交于M,N兩點(diǎn),求|BM|•|BN|的最小值的集合.
(文)當(dāng)點(diǎn)Q在(Ⅰ)中的曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí),求|PQ|的最大值的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在周長(zhǎng)為定值的△ABC中,已知|AB|=2
3
,動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線(xiàn)G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),cosC有最小值-
1
2

(1)以AB所在直線(xiàn)為x軸,線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系,求曲線(xiàn)G的方程.
(2)過(guò)點(diǎn)(m,0)作圓x2+y2=1的切線(xiàn)l交曲線(xiàn)G于M,N兩點(diǎn).將線(xiàn)段MN的長(zhǎng)|MN|表示為m的函數(shù)
 
,并求|MN|的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(09年湖北補(bǔ)習(xí)學(xué)校聯(lián)考理)(14分)在周長(zhǎng)為定值的△ABC中,已知|AB|=6,且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí),cosC有最小值為.

(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

 (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)與(Ⅰ)中的曲線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn),求的最小值的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年江西師大附中高三年級(jí)上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

在周長(zhǎng)為定值的DDEC中,已知,動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線(xiàn)G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),有最小值

(1)以DE所在直線(xiàn)為x軸,線(xiàn)段DE的中垂線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系,求曲線(xiàn)G的方程;

(2)直線(xiàn)l分別切橢圓G與圓(其中)于A、B兩點(diǎn),求|AB|的取值范圍.

 

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