在周長為定值的△ABC中,已知AB=6,且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí),cosC有最小值為
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(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程;
(Ⅱ)(理)過點(diǎn)A作直線與(Ⅰ)中的曲線交于M,N兩點(diǎn),求|BM|•|BN|的最小值的集合.
(文)當(dāng)點(diǎn)Q在(Ⅰ)中的曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),求|PQ|的最大值的集合.
分析:(Ⅰ)P點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,2c=AB,由余弦定理可得cosC=
PB2+PA2-62
2PB•PA
=
(PB+PA)2-2PB.PA-36
2PB•PA
=
2a2-18
PB•PA
-1
及基本不等式PB.PA(
2a
2
)
2
=a2
,可求cosC≥1-
18
a2
,從而可求a,及C點(diǎn)的軌跡方程
(Ⅱ)(理)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2 ),設(shè)其方程為y=k(x+3)代入橢圓方程化簡(
1
25
+
k2
16
)x2+
3
8
k2x+(
9k2
16
-1)=0
,顯然有△≥0,由橢圓第二定義可得|BM|•|BN|=(5-
3
5
x1
)(5-
3
5
x2
)及方程的根與系數(shù)的關(guān)系|BM|•|BN|取最小值,結(jié)合橢圓的
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
得性質(zhì)判斷M,N是否存在,使得|BM|•|BN|的最小值
(文)由(Ⅰ)知P(0,±4,)不妨取P(0,4),則|PQ|2=x2+(y-4)2=25-
25
16
y2
+(y-4)2
=-
9
16
(y+
64
9
)2+41+
256
9
,由-4≤y≤4且y≠0,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
解答:解:(Ⅰ)以AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)PA+PB=2a(a>0)為定值,所以P點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓,∴焦距2c=AB=6        (1分)
cosC=
PB2+PA2-62
2PB•PA
=
(PB+PA)2-2PB.PA-36
2PB•PA
=
2a2-18
PB•PA
-1
(2分)
又∵PB.PA(
2a
2
)
2
=a2
,cosC≥1-
18
a2
,此時(shí)p(0,±4),由題意得1-
18
a2
=
7
25

∴a2=25∴C點(diǎn)的軌跡方程為
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
(3分)
(注:y≠0沒寫扣(1分):文科(Ⅰ)分別為2,3,(3分),共8分)
(Ⅱ)(理)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2 ),
當(dāng)直線MN的傾斜角不為90°時(shí),設(shè)其方程為y=k(x+3)代入橢圓方程化簡得(
1
25
+
k2
16
)x2+
3
8
k2x+(
9k2
16
-1)=0
,顯然有△≥0
∴x1+x2=-
150k2
16+25k2
,x1.x2=
225k2-400
16+25k2

而由橢圓第二定義可得|BM|•|BN|=(5-
3
5
x1
)(5-
3
5
x2
)=25-3(x1+x2) +
9
25
x1x2
…(2分)
=25+
450k2
16+25k2
+
81k2-144
16+25k2
=25+
531k2-144
16+25k2

只考慮
16
25
+
144
531
k2+
16
25
的最小值,即考慮1-
16
25
+
144
531
k2+
16
25
的最小值,易知當(dāng)k=0時(shí),1-
16
25
+
144
531
k2+
16
25
的最小值
此時(shí)|BM|•|BN|取最小值16(2分)
當(dāng)直線MN的傾斜角為90°時(shí),x1=x2=-3得|BM|•|BN|=(
34
5
2>16;(1分)
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
,故這樣的M,N不存在,即|BM|•|BN|的最小值集合為空集(1分)
(文)由(Ⅰ)知P(0,±4,)不妨取P(0,4),
則|PQ|2=x2+(y-4)2=25-
25
16
y2
+(y-4)2=-
9
16
(y+
64
9
)2+41+
256
9

∵-4≤y≤4且y≠0,
∴當(dāng)y=-4時(shí),|PQ|取到最大值8 集合為{8} (6分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)及余弦定理求解橢圓的方程,利用函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的最值問題,要求考試具備一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在周長為定值的△ABC中,已知|AB|=6,且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí),cosC有最小值為
7
25

(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.
(Ⅱ)過點(diǎn)A作直線與(Ⅰ)中的曲線交于M、N兩點(diǎn),求|
BM
|•|
BN
|
的最小值的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在周長為定值的△ABC中,已知|AB|=2
3
,動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),cosC有最小值-
1
2

(1)以AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,求曲線G的方程.
(2)過點(diǎn)(m,0)作圓x2+y2=1的切線l交曲線G于M,N兩點(diǎn).將線段MN的長|MN|表示為m的函數(shù)
 
,并求|MN|的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(09年湖北補(bǔ)習(xí)學(xué)校聯(lián)考理)(14分)在周長為定值的△ABC中,已知|AB|=6,且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí),cosC有最小值為.

(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

 (Ⅱ)過點(diǎn)A作直線與(Ⅰ)中的曲線交于M、N兩點(diǎn),求的最小值的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年江西師大附中高三年級(jí)上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

在周長為定值的DDEC中,已知,動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),有最小值

(1)以DE所在直線為x軸,線段DE的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系,求曲線G的方程;

(2)直線l分別切橢圓G與圓(其中)于A、B兩點(diǎn),求|AB|的取值范圍.

 

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