9．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，已知b2=a（a+b），cos（A-B）+cosC=2sin2C．求證：△ABC為直角三角形．

分析 兩角和與差的余弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理化簡已知等式可得2sinAsinB=2sin2C，結(jié)合正弦定理得ab=c2，又b2=a2+ab，可得b2=a2+c2，利用勾股定理即可證明．

解答 證明：∵cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB，cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB，
∴cos（A-B）+cosC=2sinAsinB，
又∵cos（A-B）+cosC=1-cos2C=2sin2C，
∴2sinAsinB=2sin2C，結(jié)合正弦定理得ab=c2，
∵b2=a（a+b）=a2+ab，
∴b2=a2+c2，可得△ABC是以B為直角的直角三角形．

點評 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，勾股定理在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

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