Question

18．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的長軸長為4，焦距為2．
（Ⅰ） 求C的方程；
（Ⅱ） 過點P（0，3）的直線m與軌跡C交于A，B兩點．若A是PB的中點，求直線m的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 依題意，2a=4，所以a=2；2c=2，由此可得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)出A，B的坐標，分別代入橢圓方程求得A的坐標，由直線的斜率公式得答案．

解答 解：（Ⅰ） 依題意，2a=4，所以a=2；2c=2，
所以b²=a²-c²=3．
所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）  設(shè)A（x₀，y₀），由題意知，B（2x₀，2y₀-3），
∵A，B都在橢圓上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，$\frac{4{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{（2{y}_{0}-3）^{2}}{3}$=1，
聯(lián)立解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-1}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
當A（-1，$\frac{3}{2}$）時，直線m的斜率為$\frac{3-\frac{3}{2}}{0+1}$=$\frac{3}{2}$；
當A（1，$\frac{3}{2}$）時，直線m的斜率為$\frac{3-\frac{3}{2}}{0-1}$=-$\frac{3}{2}$．
∴直線m的斜率為±$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程，考查了中點坐標公式的應(yīng)用，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，是中檔題．