9.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x-3|.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值,并求取得最小值時x的取值范圍;
(2)若$g(x)=\frac{1}{f(x)+m}$的定義域為R,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)絕對值的意義,利用分類討論進(jìn)行求解即可.
(2)根據(jù)函數(shù)的定義域為R,得f(x)+m≠0恒成立,結(jié)合函數(shù)f(x)的最值進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)當(dāng)x>$\frac{3}{2}$時,f(x)=2x-1+2x-3=4x-4,此時f(x)>4×$\frac{3}{2}$-4=6-4=2,
當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$時,f(x)=2x-1-2x+3=2,
當(dāng)x<$\frac{1}{2}$時,f(x)=-2x+1-2x+3=-4x+4>-4×$\frac{1}{2}$+4=-2+4=2,
綜上函數(shù)的最小值為2,此時$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$.
(2)$g(x)=\frac{1}{f(x)+m}$=$\frac{1}{|2x-1|+|2x-3|+m}$,
若$g(x)=\frac{1}{f(x)+m}$的定義域為R,
則f(x)+m≠0恒成立,
即|2x-1|+|2x-3|+m≠0,
由(1)知f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥2,
則|2x-1|+|2x-3|+m≥2+m,
則2+m>0,得m>-2,
即實數(shù)m的取值范圍是(-2,+∞).

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解,根據(jù)絕對值的應(yīng)用,利用分類討論的思想將函數(shù)表示為分段函數(shù)形式是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求a的值;
(2)用定義法證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù);
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20.已知函數(shù)f(x)=(ax+b)lnx-bx+3在(1,f(1))處的切線方程為y=2.
(1)求a,b的值及函數(shù)f(x)的極值;
(2)證明:$\frac{ln2}{2}×\frac{ln3}{3}×\frac{ln4}{4}×…×\frac{lnn}{n}<\frac{1}{n}(n≥2,n∈N)$.

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17.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<$\frac{π}{2}$)的最小正周期為π,且其圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位后得到函數(shù)g(x)=cosωx的圖象,則函數(shù)f(x)的圖象( 。
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C.關(guān)于點($\frac{π}{12}$,0)對稱D.關(guān)于點($\frac{5π}{12}$,0)對稱

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4.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,a2=3,且a1、a3、a7成等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
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14.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{{{x^4}+k{x^2}+1}}{{{x^4}+{x^2}+1}}\;(k>1)$,若對任意三個實數(shù)a,b,c(可以相同),存在一個三角形,其三邊長為f(a),f(b),f(c),則k的取值范圍是(1,4).

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1.如圖所示的三角形數(shù)陣教“牛頓調(diào)和三角形”,它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為$\frac{1}{n}({n≥2})$,每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如圖

則(1)第6行第2個數(shù)(從左到右)為$\frac{1}{30}$;
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18.已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的長軸長為4,焦距為2.
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19.若函數(shù)f(x)=x3-mx-1在R上存在三個零點,則實數(shù)m的取值范圍是($\frac{3}{\root{3}{4}}$,+∞).

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