Question

10．若二次函數(shù)y=x²-2x+2與y=-x²+ax+b（a＞0，b＞0）在它們的一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直，則ab的最大值為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{25}{8}$
• D． $\frac{25}{16}$

Answer 1

分析 先對(duì)兩個(gè)二次函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)它們?cè)谝粋�(gè)交點(diǎn)處的切線相互垂直可得到a+b=$\frac{5}{2}$，再由基本不等式可求得最大值．

解答 解：∵y=x²-2x+2，∴y'=2x-2，
∵y=-x²+ax+b，∴y'=-2x+a，
設(shè)交點(diǎn)為（x₀，y₀），
∵它們?cè)谝粋�(gè)交點(diǎn)處切線互相垂直，
∴（2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，即4x₀²-（2a+4）x₀+2a-1=0，①
由交點(diǎn)分別代入二次函數(shù)式，整理得，
2x₀²-（2+a）x₀+2-b=0，即4x₀²-（4+2a）x₀+4-2b=0，②
由①②整理得 2a-1-4+2b=0，即a+b=$\frac{5}{2}$，（a＞0，b＞0）
∴ab≤$（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{25}{16}$，
∴ab的最大值為$\frac{25}{16}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，一定要注意用基本不等式的條件“一正、二定、三相等”．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．