Question

7．已知函數(shù)f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{6}}$）-cos2x-$\frac{1}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}}$]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）將已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，然后求其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）中正弦函數(shù)的自變量的取值范圍來求函數(shù)的最值．

解答 解：（1）f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{6}}$）-cos2x-$\frac{1}{4}$，
=cosx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-cos2x-$\frac{1}{4}$，
=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-cos2x-$\frac{1}{4}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{3}{4}$cos2x，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]（{k∈Z}）$．
（2）由$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{4}$得$-\frac{2π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{6}$，
∴$-1≤sin（{2x-\frac{π}{3}}）≤\frac{1}{2}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤f（x）≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，因此，f（x）在$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值分別為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．