Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（1，1），B（3，3），點C在第二象限，且△ABC是以∠BAC為直角的等腰直角三角形．點P（x，y）在△ABC三邊圍城的區(qū)域內(nèi)（含邊界）．
（1）若$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$求|${\overrightarrow{OP}}$|；
（2）設(shè)$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），求m+2n的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C（a，b），a＜0，b＞0，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算和向量的模，以及向量的垂直的條件求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的加減運算求出P的坐標(biāo)，問題得以解決，
（2）根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，以及線性規(guī)劃，即可求出答案．

解答 解：（1）設(shè)C（a，b），a＜0，b＞0，
∵A（1，1），B（3，3），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，2），$\overrightarrow{AC}$=（a-1，b-1），
∵△ABC是以∠BAC為直角的等腰直角三角形，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}={2}^{2}+{2}^{2}}\\{2（a-1）+2（b-1）=0}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=3
∴C（-1，3），
設(shè)P（x，y），
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（1-x，1-y）+（3-x，3-y）+（-1-x，3-y）=（0，0），
∴3-3x=0，7-3y=0
∴x=1，y=$\frac{7}{3}$，
∴P（1，$\frac{7}{3}$），
∴|${\overrightarrow{OP}}$|=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{7}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{58}}{3}$
（2）∵$\overrightarrow{AC}$=（-2，2），$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），
∴（x，y）=m（2，2）+n（-2，2）=（2m-2n，2m+2n），
∴x=2m-2n，y=2m+2n，
∴m=$\frac{1}{4}$（x+y），2n=$\frac{1}{2}$（y-x），
∴m+2n=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4}$y，
設(shè)z=3y-x，直線z=3y-x經(jīng)過點C（-1，3）時，z取得最大值，
即m+2n=$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$×3=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)乘及坐標(biāo)加法運算，考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．