Question

14．過點P（1，4）作圓C：（x-2）²+（y-1）²=1的兩條切線，切點為A、B．
（Ⅰ）求PA和PB的長，并求出切線方程；
（Ⅱ）求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出PC，利用勾股定理求PA和PB的長，分類討論求出切線方程；
（Ⅱ）求出以P（1，4）、C（2，1）為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）PC=$\sqrt{（2-1）^{2}+（1-4）^{2}}$=$\sqrt{10}$
∴PA=PB=$\sqrt{P{C}^{2}-1}$=3    
斜率不存在時，切線方程：x-1=0，
斜率存在時，設方程為y-4=k（x-1），即kx-y-k+4=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|2k-1-k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{4}{3}$
∴切線方程為4x+3y-16=0，
綜上所述，切線方程為4x+3y-16=0或x-1=0；
（Ⅱ）以P（1，4）、C（2，1）為直徑的圓的方程為（x-1.5）²+（y-2.5）²=2.5，
將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程為x-3y+2=0

點評 本題考查直線和圓的位置關系以及圓和圓的位置關系、圓的切線性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．