Question

2．（Ⅰ）請(qǐng)用分析法證明：$\sqrt{5}+2＞\sqrt{3}+\sqrt{6}$
（Ⅱ）已知a，b為正實(shí)數(shù)，請(qǐng)用反證法證明：a+$\frac{1}$與b+$\frac{1}{a}$中至少有一個(gè)不小于2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）兩邊平方尋找使不等式成立的條件即可；
（Ⅱ）假設(shè)兩數(shù)都小于2，利用完全平方公式分解因式即可得出矛盾，得出結(jié)論成立．

解答 證明：（Ⅰ）要證：$\sqrt{5}+2＞\sqrt{3}+\sqrt{6}$，
只要證：${（\sqrt{5}+2）^2}＞{（\sqrt{3}+\sqrt{6}）^2}$，
即證：$\sqrt{20}＞\sqrt{18}$，
即證：20＞18，
而上式顯然成立，故原不等式成立．
（Ⅱ）假設(shè)結(jié)論不成立，則$a+\frac{1}＜2\;，\;b+\frac{1}{a}＜2$，
所以$a+\frac{1}+b+\frac{1}{a}＜4$，即$（a+\frac{1}{a}-2）+（b+\frac{1}-2）＜0$，
即${（\sqrt{a}-\frac{1}{{\sqrt{a}}}）^2}+{（\sqrt-\frac{1}{{\sqrt}}）^2}＜0$，
顯然上式不成立．
故假設(shè)不成立，
所以a+$\frac{1}$與b+$\frac{1}{a}$中至少有一個(gè)不小于2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分析法與反證法證明，屬于中檔題．