Question

已知函數(shù) f（x）=

m

2

x2+lnx-（m+1）x，m∈R．
（Ⅰ）求證：當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）≤-

1

2

；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）  的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)m≤0時(shí)，h（x）=sinx-xcosx-

1

3

x2+1，若任意x₁∈（0，π]，均存在x₂∈[0，π]使得f（x₁）＜h（x₂）成立，求出m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）研究函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值小于或等于-

1

2

即可，可利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性求最值；
（2）求導(dǎo)，然后問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次不等式解法問題，注意分類討論；
（3）由題意只需f（x）_max≤h（x）_max即可，然后再利用導(dǎo)數(shù)分別求兩個(gè)函數(shù)最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=-

1

2

x2+lnx，f′（x）=-x+

1

x

=

1-x2

x

；
 x∈（0，1），f′（x）＞0；x∈（1，+∞），f′（x）＜0，所以f(x)max=f(1)=-

1

2

，所以f(x)≤-

1

2

．
（2）f(x)=

m

2

x2+lnx-(m+1)x，f′(x)=mx+

1

x

-(m+1)=

mx2-(m+1)x+1

x

；
令t=mx²-（m+1）x+1；
①當(dāng)m＞1時(shí)，x∈(0，

1

m

)，t＞0；x∈(

1

m

，1)，t＜0；x∈（1，+∞），t＞0．
所以f（x）在x∈(0，

1

m

)遞增，在（

1

m

，1）遞減，在（1，+∞）遞增．
②當(dāng)m=1時(shí)，x∈（0，+∞），t≥0；所以f（x）在x∈（0，+∞）遞增；
③當(dāng)0＜m＜1時(shí)，x∈(0，1)，t＞0；x∈(1，

1

m

)，t＜0；x∈(

1

m

，+∞)，t＞0；
所以f（x）在（0，1）遞增，在（1，

1

m

）遞減，在（

1

m

，+∞）上遞增；
④當(dāng)m=0時(shí)，t=-x+1，x∈（0，1），t＞0；x∈（1，+∞），t＜0；
所以f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
⑤當(dāng)m＜0時(shí)，x∈（0，1），t＞0；x∈（1，+∞），t＜0；f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減．
（3）若任意x₁∈（0，π]，均存在x₂∈[0，π]使得f（x₁）＜h（x₂）成立?f（x）_max＜h（x）_max．
當(dāng)m≤0時(shí)，由（2）知道x∈（0，π]時(shí)，f（x） max=f(1)=-1-

m

2

．
h(x)=sinx-xcosx-

1

3

x3+1，h′（x）=cosx-（cosx-xsinx）-x²=x（sinx-x）．
構(gòu)造g（x）=sinx-x，則g′（x）=cosx-1≤0，所以g（x）在[0，π]遞減
所以g（x）=sinx-x≤g（0）=0，而x＞0所以h′（x）=x（sinx-x）≤0．
所以h（x）=sinx-xcosx-

1

3

x2+1在[0，π]遞減，所以h（x）_max=h（0）=1．
所以，-1-

m

2

＜1，
解得m＞-4，所以m∈（-4，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求最值的思路，一般會(huì)將問題轉(zhuǎn)化為不等式的解法問題，注意分類討論．