12.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)橢圓C上是否存在關(guān)于直線l:x+y=$\frac{1}{5}$對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B,若存在,求出直線AB的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (Ⅰ)求得拋物線的焦點(diǎn),可得c=1,由離心率公式可得c,即可得到b,進(jìn)而得到橢圓的方程;
(Ⅱ)假設(shè)橢圓C上存在關(guān)于直線l:x+y=$\frac{1}{5}$對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B,可設(shè)AB的方程為y=x+t,代入橢圓方程,運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,可得AB的中點(diǎn),代入已知直線方程,求得t,即可判斷存在.

解答 解:(Ⅰ)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0),
可得右焦點(diǎn)F(1,0),即c=1,
由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,解得a=$\sqrt{3}$,b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$,
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1;
(Ⅱ)假設(shè)橢圓C上存在關(guān)于直線l:x+y=$\frac{1}{5}$對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B,
可設(shè)AB的方程為y=x+t,
代入橢圓方程2x2+3y2-6=0,可得
5x2+6tx+3t2-6=0,
即有△>0,即36t2-20(3t2-6)>0,
解得-$\sqrt{5}$<t<$\sqrt{5}$,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
可得x1+x2=-$\frac{6t}{5}$,
即有AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-$\frac{3t}{5}$,$\frac{2t}{5}$),
代入直線x+y=$\frac{1}{5}$,可得t=-1,
即有-1∈(-$\sqrt{5}$,$\sqrt{5}$),
則存在A,B,且AB的方程為y=x-1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用離心率公式,考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題的解法,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A規(guī)格

B規(guī)格

C規(guī)格
第一種鋼板   2    1     1
第二種鋼板   1    3     1
第一種鋼板面積為1m2,第二種鋼板面積為2m2,今分別需要A規(guī)格小鋼板15塊,B規(guī)格小鋼板27塊,C規(guī)格小鋼板13塊.
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(2)若f(x)=kx(k>0),則f(x)為“平方差函數(shù)”;
(3)若f(x)為“平方差函數(shù)”,則f(x)為奇函數(shù);
(4)若f(x)為“平方差函數(shù)”,則f(x)為增函數(shù).
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