Question

9．某加油站擬建造如圖所示的鐵皮儲油罐（不計厚度，長度單位為米），其中儲油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，l=2r+1（l為圓柱的高，r為球的半徑，l≥2）．假設(shè)該儲油罐的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費用為1千元，半球形部分每平方米建造費用為3千元．設(shè)該儲油罐的建造費用為y千元．
（1）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）若預(yù)算為8萬元，求所能建造的儲油罐中r的最大值（精確到0.1），并求此時儲油罐的體積V（單位：立方米，精確到0.1立方米）．

Answer 1

分析 （1）求出半球與圓柱的面積，得出y關(guān)于r的函數(shù)；
（2）令y≤80，解出r的最大值，從而得出體積V的最大值．

解答 解：（1）半球的表面積${S_1}=2π{r^2}$，圓柱的表面積S₂=2πr•l．
于是$y=3×2{S_1}+1×{S_2}=3×4π{r^2}+1×2πr•（2r+1）=16π{r^2}+2πr$．
定義域為$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．
（2）16πr²+2πr≤80，即${r^2}+\frac{1}{8}r-\frac{5}{π}≤0$，解得$r≤\frac{{-\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{1}{64}+\frac{20}{π}}}}{2}≈1.2$．
$V=\frac{4}{3}π{r^3}+π{r^2}•（2r+1）=\frac{10}{3}π{r^3}+π{r^2}$，
經(jīng)計算得V≈22.7（立方米）．
故r的最大值為1.2（米），此時儲油罐的體積約為22.7立方米．

點評 本題考查了空間幾何體的面積與體積計算，屬于中檔題．