【題目】函數(shù)f(x)=lnx+ +ax(a∈R),g(x)=ex+ .
(1)討論f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若對(duì)于x>0,總有f(x)≤g(x).(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(ii)求證:對(duì)于x>0,不等式ex+x2﹣(e+1)x+ >2成立.
【答案】
(1)解:由題意得f'(x)=x+ +a= ,
當(dāng)a2﹣4≤0,即﹣2≤a≤2時(shí),f'(x)≥0恒成立,無(wú)極值點(diǎn);
當(dāng)a2﹣4>0,即a<﹣2或a>2時(shí),
①a<﹣2時(shí),設(shè)方程x2+ax+1=0兩個(gè)不同實(shí)根為x1,x2,不妨設(shè)x1<x1,x2,
則x1+x2=﹣a>0,x1x2=1>0,故0<x1<x2,
∴x1,x2是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).
②a>2時(shí),設(shè)方程x2+ax+1=0兩個(gè)不同實(shí)根為x1,x2,
則x1+x2=﹣a<0,x1x2=1>0,故x1<0,x2<0,
故函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn).
綜上,當(dāng)a<﹣2時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);
當(dāng)a≥﹣2時(shí),函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)
(2)解:(i)f(x)≤g(x)等價(jià)于ex﹣lnx+x2≥ax,
由x>0,即a≤ 對(duì)于x>0恒成立,
設(shè)φ(x)= (x>0),
φ′(x)= ,
∵x>0,∴x∈(0,1)時(shí),φ'(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減,
x∈(1,+∞)時(shí),φ'(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增,
∴φ(x)≥φ(1)=e+1,
∴a≤e+1.
(ii)( ii)由( i)知,當(dāng)a=e+1時(shí)有f(x)≤g(x),
即:ex+ x2≥lnx+ x2+(e+1)x,
等價(jià)于ex+x2﹣(e+1)x≥lnx…①當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),
以下證明:lnx+ ≥2,
設(shè)θ(x)=lnx+ ,則θ′(x)= ﹣ = ,
∴當(dāng)x∈(0,e)時(shí)θ'(x)<0,θ(x)單調(diào)遞減,
x∈(e,+∞)時(shí)θ'(x)>0,θ(x)單調(diào)遞增,
∴θ(x)≥θ(e)=2,
∴l(xiāng)nx+ ≥2,②當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)取等號(hào);
由于①②等號(hào)不同時(shí)成立,故有ex+x2﹣(e+1)x+ >2
【解析】(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x),根據(jù)x>0求出f'(x)的值域,討論a的值得出f′(x)的正負(fù)情況,判斷f(x)的單調(diào)性和極值點(diǎn)問(wèn)題;(2)(i)f(x)≤g(x)等價(jià)于ex﹣lnx+x2≥ax,由x>0,利用分離常數(shù)法求出a的表達(dá)式,再構(gòu)造函數(shù)求最值即可;(ii)由( i)結(jié)論,a=e+1時(shí)有f(x)≤g(x),得出不等式,再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,證明轉(zhuǎn)化的命題成立即可.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下面四個(gè)推理:
①由“若是實(shí)數(shù),則”推廣到復(fù)數(shù)中,則有“若是復(fù)數(shù),則”;
②由“在半徑為R的圓內(nèi)接矩形中,正方形的面積最大”類(lèi)比推出“在半徑為R的球內(nèi)接長(zhǎng)方體中,正方體的體積最大”;
③以半徑R為自變量,由“圓面積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是圓的周長(zhǎng)函數(shù)”類(lèi)比推出“球體積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是球的表面積函數(shù)”;
④由“直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)為”類(lèi)比推出“極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)、的中點(diǎn)坐標(biāo)為”.
其中,推理得到的結(jié)論是正確的個(gè)數(shù)有( )個(gè)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AA1=t,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz.
(1)若t=1,求異面直線(xiàn)AC1與A1B所成角的大;
(2)若t=5,求直線(xiàn)AC1與平面A1BD所成角的正弦值;
(3)若二面角A1—BD—C的大小為120°,求實(shí)數(shù)t的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)300):
空氣質(zhì)量指數(shù) | (0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,250] | (250,300] |
空氣質(zhì)量等級(jí) | 1級(jí)優(yōu) | 2級(jí)良 | 3級(jí)輕度污染 | 4級(jí)中度污染 | 5級(jí)重度污染 | 6級(jí)嚴(yán)重污染 |
該社團(tuán)將該校區(qū)在2016年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.
(Ⅰ)請(qǐng)估算2017年(以365天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)(未滿(mǎn)一天按一天計(jì)算);
(Ⅱ)該校2017年6月7、8、9日將作為高考考場(chǎng),若這三天中某天出現(xiàn)5級(jí)重度污染,需要凈化空氣費(fèi)用10000元,出現(xiàn)6級(jí)嚴(yán)重污染,需要凈化空氣費(fèi)用20000元,記這三天凈化空氣總費(fèi)用為X元,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A. 若是的極小值點(diǎn),則在區(qū)間上單調(diào)遞減
B. 函數(shù)的圖像可以是中心對(duì)稱(chēng)圖形
C. ,使
D. 若是的極值點(diǎn),則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,
已知圓和圓.
(1)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn),且被圓截得的弦長(zhǎng)為,
求直線(xiàn)的方程;(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿(mǎn)足:
存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線(xiàn)和,
它們分別與圓和圓相交,且直線(xiàn)被圓
截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)相等,試求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,,,.
(1)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
(2)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)為了解該商場(chǎng)某商品近5年日銷(xiāo)售量(單位:件),隨機(jī)抽取近5年50天的銷(xiāo)售量,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
日銷(xiāo)售量 | 100 | 150 |
天數(shù) | 30 | 20 |
頻率 |
若將上表中頻率視為概率,且每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立.則在這5年中:
(1)求5天中恰好有3天銷(xiāo)售量為150件的概率(用分式表示);
(2)已知每件該商品的利潤(rùn)為20元,用X表示該商品某兩天銷(xiāo)售的利潤(rùn)和(單位: 元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足acosC=b﹣ c. (Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若B= ,AC=4,求BC邊上的中線(xiàn)AM的長(zhǎng).
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