Question

4．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若F₂H的中點M在雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線方程為（　�。�

• A． y=±x
• B． y=±$\sqrt{2}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±2$\sqrt{2}$x

Answer 1

分析 求出H的坐標，代入雙曲線方程，然后轉(zhuǎn)化求解a、b關(guān)系，即可得到結(jié)果．

解答 解：不妨設垂足H在第一象限，則由$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}}\right.$，得$H（\frac{a^2}{c}，\frac{ab}{c}）$，
故$M（\frac{1}{2}（\frac{a^2}{c}+c），\frac{ab}{2c}）$，
把點M坐標代入雙曲線方程中得$\frac{1}{4}{（\frac{a}{c}+\frac{c}{a}）^2}-\frac{1}{4}{（\frac{a}{c}）^2}=1$．
即有$\frac{c^2}{a^2}=2$，解得a=b，
故雙曲線C的漸近線方程為y=±x．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，直線與雙曲線方程的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．