14.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且f(x+1)+x-2=x2-3;
(1)求f(x)的解析式;
(2)方程f(x)-k=0的兩個(gè)實(shí)根x1,x2滿足x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=45,求k值.

分析 (1)先根據(jù)圖象過點(diǎn)(0,1)便可得出c=1,然后求出f(x+1)帶入f(x+1)+x-2=x2-3,根據(jù)多項(xiàng)式相等對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等便可建立關(guān)于a,b的方程組,解出a,b便可得出f(x)解析式;
(2)將上面求得的f(x)解析式帶入f(x)-k=0會得到關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理求出x1+x2,x1x2,再由條件${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=45$得到$({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}=45$,從而建立關(guān)于k的方程,解出k即可.

解答 解:(1)f(x)的圖象過點(diǎn)(0,1);
∴c=1;
∴f(x+1)+x-2=a(x+1)2+b(x+1)+1+x-2
=ax2+(2a+b+1)x+a+b-1
=x2-3;
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{2a+b+1=0}\\{a+b-1=-3}\end{array}\right.$;
∴a=1,b=-3;
∴f(x)=x2-3x+1;
(2)f(x)-k=x2-3x+1-k=0的兩實(shí)根x1,x2,則:
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=3}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1-k}\end{array}\right.$;
∴${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$=9-2(1-k)=45;
∴k=19.

點(diǎn)評 考查已知函數(shù)f(x)求f[g(x)]的方法,二次函數(shù)的一般形式,多項(xiàng)式相等對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)關(guān)系,以及韋達(dá)定理,完全平方式.

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(1)當(dāng)x≤0時(shí),求f(g(x))的解析式;
(2)當(dāng)x<0時(shí),求g(f(x))的解析式;
(3)解不等式g(x)>2.

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