Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1內(nèi)一點(diǎn)M（3，1），過M作一條直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若AB恰被M點(diǎn)平分，求直線l的方程；
（Ⅱ）若直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法能求出直線l的方程．
（Ⅱ）先求出直線l，與橢圓聯(lián)立，得x²+2（x-2）²=24，由此利用弦長公式能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1內(nèi)一點(diǎn)M（3，1），過M作一條直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{24}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{12}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{24}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，兩式相減，得$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{24}+\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{12}$=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴${k}_{AB}•\frac{2}{6}=-\frac{1}{2}$，∴${k}_{AB}=-\frac{3}{2}$，
∴直線l的方程為3x+2y-11=0．
（Ⅱ）∵點(diǎn)M（3，1），過M作一條直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，
∴直線l：y-1=x-3，即y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得x²+2（x-2）²=24，整理，得3x²-8x-16=0，
解得x=4，或x=-$\frac{4}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}|4-（-\frac{4}{3}）|$=$\frac{16}{3}\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式、點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．