Question

6．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若橢圓C過點(diǎn)（-3，0）和（2$\sqrt{2}$，$\frac{1}{3}$）．
①求橢圓C的方程；
②若過橢圓C的下頂點(diǎn)D點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與橢圓C相交于點(diǎn)P，M，求證：直線PM經(jīng)過一定點(diǎn)；
（2）若橢圓C過點(diǎn)（1，2），求橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）①由橢圓過兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法能求出橢圓C的方程．
②由題意得PD、MD的斜率存在且不為0，設(shè)直線PD的斜率為k，則PD：y=kx-1，與橢圓方程聯(lián)立求出P點(diǎn)坐標(biāo)，用-$\frac{1}{k}$代k，得M點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出直線PM，從而能證明直線PM經(jīng)過定點(diǎn)T（0，$\frac{4}{5}$）．
（2）橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離d=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$，由此利用換元法及基本不等式性質(zhì)能求出橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值．

解答 解：（1）①∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（-3，0）和（2$\sqrt{2}$，$\frac{1}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（-3）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{0}{^{2}}=1}\\{\frac{（2\sqrt{2}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{1}{3}）^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$．
證明：②由題意得PD、MD的斜率存在且不為0，
設(shè)直線PD的斜率為k，則PD：y=kx-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得P（$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}$），
用-$\frac{1}{k}$代k，得M（$\frac{-18k}{{k}^{2}+9}$，$\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}$），
∴${k}_{MN}=\frac{\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}-\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}}{\frac{18k}{9{k}^{2}+1}+\frac{18k}{{k}^{2}+9}}$=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$，
∴直線PM：y-$\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}$=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}（x+\frac{18k}{{k}^{2}+9}）$，即y=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}x+\frac{4}{5}$，
∴直線PM經(jīng)過定點(diǎn)T（0，$\frac{4}{5}$）．
解：（2）橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離d=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$，
由$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}$=1，得$^{2}=\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}-1}$，
∴$udjo3k3^{2}=\frac{{a}^{4}}{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{{a}^{4}}{{a}^{2}-\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}-1}}$=$\frac{{a}^{2}（{a}^{2}-1）}{{a}^{2}-5}$，
令t=a²-5，t＞0，則$pwa7vc8^{2}=\frac{（t+5）（t+4）}{t}$=t+$\frac{20}{t}$+9≥2$\sqrt{t•\frac{20}{t}}$+9=4$\sqrt{5}$+9，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2$\sqrt{5}$，${a}^{2}=5+2\sqrt{5}$時(shí)，等號成立，
∴橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值為$\sqrt{5}+2$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，考查橢圓中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、均值定理的合理運(yùn)用．