Question

15．如果過點M（-2，0）的直線l與橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$有公共點，那么直線l的斜率k的取值范圍是（　�。�

• A． $（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$
• C． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• D． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$

Answer 1

分析 設過點M（-2，0）的直線l的方程為y=k（x+2），與橢圓方程聯立，得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判別式能求出直線l的斜率k的取值范圍．

解答 解：設過點M（-2，0）的直線l的方程為y=k（x+2），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，
∵過點M（-2，0）的直線l與橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$有公共點，
∴△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，
整理，得k²$≤\frac{1}{2}$，
解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線l的斜率k的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故選：D．

點評 本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意根的判別式的合理運用．