Question

8．袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為$\frac{1}{7}$．現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止．每枚棋子在每一次被摸出的機會都是等可能的．用X表示取棋子終止時所需的取棋子的次數(shù)．
（1）袋中白色棋子有幾枚？
（2）求隨機變量X的概率分布列和數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）設白球個數(shù)為x，利用排列組合計算出用x表示的“任取2枚棋子都是白色的概率”，構造方程，解之．
（2）確定X的可能取值為1，2，3，4，5，根據(jù)題意分別計算出X取各個值的概率，寫出分布列，計算期望．

解答 解：（1）設袋中有x枚白色棋子（0＜x＜7），
則從袋中x枚白色棋子中任取2枚，共有${C}_{x}^{2}$種，
從袋中7枚圍棋子中任取2枚，共有${C}_{7}^{2}$種，
記事件A表示：“從袋中任取2枚棋子，都是白色的棋子”，
P（A）=$\frac{{C}_{x}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}x（x-1）}{21}$=$\frac{x（x-1）}{42}$又 P（A）=$\frac{1}{7}$
∴$\frac{x（x-1）}{42}=\frac{1}{7}$
解方程的x=3或x=-2
∵0＜x＜7
∴袋中白色棋子有3枚．
（2）由（1），X可能取值為1，2，3，4，5
X=1，表示甲第一次摸，取出白色棋子，
          故P（X=1）=$\frac{3}{7}$；
X=2，表示第一次取出棋子是黑色，第二次取出棋子是白色，
          故P（X=2）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$=$\frac{2}{7}$；
X=3，表示前二次都是取出黑色，甲第三次取出白色，
          故P（X=3）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{35}$；
X=4，表示前三次都是取出黑色，甲第四次取出白色，
          故P（X=4）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$×$\frac{2}{5}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{35}$；
X=5，表示前四次都是取出黑色，甲第五次取出白色，
故P（X=4）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$×$\frac{2}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{3}$=$\frac{1}{35}$；
∴隨機變量X的分布列為：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

∴EX=$1×\frac{3}{7}$$+2×\frac{2}{7}$$+3×\frac{6}{35}$$+4×\frac{3}{35}$$+5×\frac{1}{35}$=1

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查古典概型的概率計算，考查利用概率與統(tǒng)計的知識解決實際問題．屬于中檔題．