Question

20．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f'（x）是f（x）的導數(shù)，f''（x）是f'（x）的導數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學經過探索發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，請你根據這一發(fā)現(xiàn)，計算f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+…+f（$\frac{2015}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）=2016．

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導數(shù)可得圖象關于點（$\frac{1}{2}$，1）對稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結論．

解答 解：函數(shù)的導數(shù)f′（x）=x²-x+3，
f″（x）=2x-1，
由f″（x₀）=0得2x₀-1=0，
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而f（$\frac{1}{2}$）=1，
故函數(shù)f（x）關于點（$\frac{1}{2}$，1）對稱，
∴f（x）+f（1-x）=2，
故設f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+…+f（$\frac{2015}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）=m，
則f（ $\frac{2016}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）+…+f（$\frac{1}{2017}$）=m，
兩式相加得2×2016=2m，
則m=2016．
故答案為：2016．

點評 本題主要考查導數(shù)的基本運算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．